Średnie

Średnia na danym przedziale to funkcja, która dowolnej skończonej liczbie jego elementów przyporządkowuje jakąkolwiek liczbę większą lub równą od najmniejszego i mniejszą lub równą od największego z tych elementów.  Pojęcie to należy do najstarszych w matematyce. Klasyczne przykłady znane od czasów starożytnych to średnie arytmetyczna, geometryczna i harmoniczna.  Prowadzone badania skupiają się na niezmienniczości średniej dwóch zmiennych względem pary średnich dwóch zmiennych i uogólnieniu tego problemu na większą liczbę średnich o takiej samej liczbie zmiennych.

Wiele średnich jest opisanych przy pomocy funkcji jednej zmiennej, tak zwanego generatora.  Tak jest na przykład w przypadku (ważonych) średnich quasi-arytmetycznych, średnich Lagrange’a, Cauchy’ego, czy też Bajraktarevicia.  Przedmiotem badań jest związek pomiędzy wypukłością średniej i jej ewentualnego generatora.  Ten ostatni jest z reguły funkcją jednej zmiennej, podczas gdy średnia to funkcja wielu zmiennych.  Ważna jest też odpowiedź na pytanie o klasę regularności średnich wypukłych.